动机

在计算机视觉领域，经常需要检测极值位置，比如SIFT关键点检测、模板匹配获得最大响应位置、统计直方图峰值位置、边缘检测等等，有时只需要像素精度就可以，有时则需要亚像素精度。本文尝试总结几种常用的一维离散数据极值检测方法，几个算法主要来自论文《A Comparison of Algorithms for Subpixel Peak Detection》，加上自己的理解和推导。

问题定义

给定如下离散值，求其极值位置。可知125为观察极值。

如果这些离散值是从某个分布中等间距采样获得，其真正的极值位置应位于120和125之间。

下面给出形式化的定义：给定一组离散值，令为观测到的极值点位置，其值为，其左右相邻位置的值为和$$，真正的极值点位置为$$，令为的估计值。

算法

假设的邻域可通过某个模型进行近似，如高斯近似、抛物线近似，则可以利用$$的邻域信息根据模型估计出极值。使用的模型不同就有不同的算法，具体如下。

高斯近似

一维高斯函数如下：

当时为标准高斯函数，形如

假设$$的邻域可用高斯近似，用$$三点对高斯函数进行拟合，获得模型参数即为峰值位置，。将三点带入上面的高斯函数两边同时取对数求得：

下面可以看到，高斯近似相当于取对数后的抛物线近似。

抛物线近似

使用抛物线近似的局部，可以将三点带入求参数即为估计的极值位置，也可采用泰勒展开（牛顿法）来求极值。泰勒公式实际上是一种利用高阶导数通过多项式近似函数的方法，下面的图示可直观理解这种近似，图示为通过泰勒公式近似原点附近的正弦曲线：

泰勒近似x$x$附近，如只取到二阶则为抛物线近似。假设高阶可导，极值为，则根据泰勒公式，

极值处导数为0，这里为常数为变量，两边同时对$$求导，忽略高阶项可得

使用一阶微分和二阶微分近似和得

与带入抛物线求参数的结果是一致的，加上对数则与高斯近似一致。

质心算法

若将看成质点，将看成质点的质量，则可以把质心作为极值的估计。根据质点相对质心位置的质量加权和为零，可求得质心位置。令为质心坐标，和分别为质点质量和坐标，则个质点的质心满足

令，质心坐标为

带入得

以上考虑的是3质点系统的质心，还可考虑5质点、7质点等，甚至考虑所有点。

线性插值

这个模型假设在极值两侧是线性增长和线性下降的，且上升和下降的速度相同，即，上升侧，下降侧，两者绝对值相同，可以利用这个性质求解极值位置。

若则极值位于之间，可列等式

解得

同理，若求得

数值微分滤波

这个方法是利用极值处导数为0的性质，在微分滤波结果上插值得到导数为0的位置，因已知极值点在x$x$附近，因此只需在x$x$附近做微分和插值即可。插值时取极值点两侧正负值连线的过零点作为极值点的估计，如下图所示

论文Real-time numerical peak detector中定义了4阶和8阶线性滤波器和，对应的函数形式为

2阶形式为，这些滤波器的表现与数值微分滤波器相似。

当时，极值点位于之间，，极值点位置为与连线的过零点，通过斜率求得

若，则

总结

这些数值极值检测方法均是先获取观测极值及其邻域信息，然后综合邻域信息在各自的模型假设下通过插值估计出极值位置。若能知道数值来自的真实分布，则直接拟合真实分布然后求极值即可，但往往我们并不知道真实的分布是什么，即使知道真实分布，有时为了快速计算，也会采取插值的方式来估计极值，毕竟偏差可接受效果足够好就可以了。应用时，为了抗噪可对数据先平滑然后求极值，具体采用何种方法可在准确和速度间权衡——所用模型与真实分布越相近自然越准确，如果实在不知道怎么选，就实践对比吧（因为我也不知道），毕竟伟大领袖教导过我们——实践是检验真理的唯一标准！